Question

21sin(x) + 20cos(x) = 14,5

Answer 1

https://znanija.com/task/34475537

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *

21sin(x) + 20cos(x) = 14,5

Ответ:  - arcsin(20/29) + (-1)ⁿ (π/6) +π*n , n ∈ ℤ .

Объяснение:   метод вспомогательного угла

* * *asinα+bcosα =√(a²+b²)sin(x +φ) , где  φ =arctg(b/a) * * *

21sin(x) + 20cos(x) = 14,5 ;      √(21²+20²) =√( 441+400 =√881 =29

29( (21/29)*sin(x) + (20/29)*cos(x) )= 29/2 ;

(21/29)*sin(x) + (20/29)*cos(x) =1/2     * * *  (21/29)²+(20/29)² =1 * *

обоз.   21/29 =cosφ ⇒ 20/29 = sinφ     φ =arcsin(20/29)

sin(x +φ) = 1/2 ;

x +φ = (-1)ⁿ (π/6) +π*n , n ∈ ℤ

x = - φ + (-1)ⁿ (π/6) +π*n , n ∈ ℤ

x = - arcsin(20/29) + (-1)ⁿ (π/6) +π*n , n ∈ ℤ .

///////////////////////////// очевидно ,что  можно и обозначить

 21/29 =sinφ ⇒  20/29 = cosφ    φ =arccos(20/29)     * * *

cos(x - φ) = 1/2 ⇒ x - φ =±π/3 +2πn  , n ∈ ℤ⇔ x = φ ±π/3 +2πn , n ∈ ℤ ;

x = arccos(20/29) ± π/3 +2πn  , n ∈ ℤ .

Answer 2

Делим обе части уравнения на

$sqrt{21^2+20^2}= 29$

получаем

$frac{21}{29}cdot sinx+frac{20}{29}cosx=frac{1}{2}$

Вводим вспомогательный угол:

$sinphi=frac{21}{29} \ \ cosphi=frac{20}{29} \ \ sin^2phi+cos^2phi=1$

Уравнение принимает вид:

$sinphicdot sinx+cosphi cdot cosx=frac{1}{2} \ \ phi=arcsinfrac{21}{29} ;$

или

$phi=arccosfrac{20}{29}$

Применяем формулу:

$cos(alpha -beta )=cosalpha cdot cosbeta +sinalpha cdot sinbeta \ \ cos(x-phi)=frac{1}{2} \ \ x-phi=pm arccosfrac{1}{2} +2pi n, nin Z\ \ x=phipmfrac{pi}{3} +2pi n, nin Z\\x=arccosfrac{20}{29} pmfrac{pi}{3} +2pi n, nin Z$

О т в е т.

$arccosfrac{20}{29} pmfrac{pi}{3} +2pi n, nin Z$