Question

20 баллов, решите подробно
1.
Решите уравнения:
а) sin⁡2x + 4 cos⁡x = 0
б) 2 cos2⁡x − sin2⁡x = − sin⁡ x

2.
Изобразите тригонометрическую (единичную) окружность. Отметьте на ней дугу, все точки которой удовлетворяют неравенству: cos⁡ α ≤ −0,5, где α – угол на единичной окружности (см. рис).
Используя рисунок, найдите решение указанного неравенства.

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

1) а) sin 2x + 4cos x = 0

2sin x*cos x + 4cos x = 0

2cos x*(sin x + 2) = 0

cos x = 0; x = π/2 + πk, k ∈ Z

sin x = -2 - это уравнение решений не имеет.

Ответ: x = π/2 + πk, k ∈ Z

б) 2cos 2x - sin 2x = -sin x

2(2cos^2 x - 1) - 2sin x*cos x + sin x = 0

4cos^2 x - 2 - 2sin x*cos x + sin x = 0

Тут, похоже, какая-то опечатка. Я проверил на Вольфрам Альфа, решения все не выражаются через Пи. Если бы было:

4cos^2 x - 1 - 2sin x*cos x + sin x = 0

Тогда было бы так:

(2cos x - 1)(2cos x + 1) - sin x*(2cos x - 1) = 0

(2cos x - 1)(2cos x + 1 - sin x) = 0

cos x = 1/2; x1 = +-π/3 + 2πk, k ∈ Z

2cos x - sin x + 1 = 0

Переходим к половинному аргументу

2cos^2 (x/2) - 2sin^2 (x/2) - 2sin(x/2)*cos(x/2) + cos^2 (x/2) + sin^2 (x/2) = 0

3cos^2 (x/2) - 2sin(x/2)*cos(x/2) - sin^2 (x/2) = 0

Делим всё на -cos^2 (x/2)

tg^2 (x/2) + 2tg(x/2) - 3 = 0

(tg(x/2) - 1)(tg(x/2) + 3) = 0

tg x/2 = 1; x/2 = π/4 + πk; x2 = π/2 + 2πk, k ∈ Z

tg x/2 = -3; x/2 = -arctg(3) + πk; x3 = -2arctg(3) + 2πk, k ∈ Z

Ответ: x1 = +-π/3 + 2πk, k∈Z; x2 = π/2 + 2πk, k∈Z; x3 = -2arctg(3) + 2πk, k∈Z

2. Окружность на картинке.

Решение неравенства показано красной дугой.

cos α ≤ -0,5

α ∈ (2π/3 + 2πk; 4π/3 + 2πk, k ∈ Z)