Question

2. Знайдіть найбільше та найменше значення виразу 4х + 9y, якщо x² + 9y² = 4.​

Answer 1

Ответ:

Наибольшее значение выражения 10, наименьшее значение выражения -10

Объяснение:

Перевод: Найдите наибольшее и наименьшее значение выражения 4·x + 9·y, если x² + 9·y² = 4.

Решение. Нам нужно найти наибольшее и наименьшее значения параметра a, при которых система

$\displaystyle \tt \left \{ {{4 \cdot x+9 \cdot y=a} \atop {x^2+9 \cdot y^2=4}} \right. .$

имеет решения.

Применим метод подстановки.

$\displaystyle \tt \left \{ {{4 \cdot x+9 \cdot y=a} \atop {x^2+9 \cdot y^2=4}} \right. \Leftrightarrow \left \{ {{x=\dfrac{a-9 \cdot y}{4} } \atop {\left (\dfrac{a-9 \cdot y}{4} \right )^2+9 \cdot y^2=4}} \right. \Leftrightarrow \left \{ {{x=\dfrac{a-9 \cdot y}{4} } \atop {(a-9 \cdot y)^2+144 \cdot y^2=64}} \right. \Leftrightarrow$

$\displaystyle \tt \Leftrightarrow \left \{ {{x=\dfrac{a-9 \cdot y}{4} } \atop {a^2-18 \cdot a \cdot y+81 \cdot y^2+144 \cdot y^2-64=0}} \right. \Leftrightarrow \left \{ {{x=\dfrac{a-9 \cdot y}{4} } \atop {a^2-18 \cdot a \cdot y+225 \cdot y^2-64=0}} \right. .$

Уравнение 225·y²-18·a·y+a²-64=0 имеет решения тогда и только тогда, когда дискриминант неотрицателен:

D = (-18·a)² - 4·225·(a²-64) = 324·a² - 900·(a²-64) = 57600 - 576·a² ≥ 0.

Отсюда

a² ≤ 100 ⇔ -10 ≤ a ≤ 10.

#SPJ1