Question

 2-y^2            7-5y                4-y  
_____ -   _______  -    _______   ;
(y-3)^4      (y-3)^4             (y-3)^4

Докажите,что выражение при всех допустимых значениях переменной принимает отрицаиельные значения.

Answer 1

знаменатели у всез 3 дрбей одинаковы, следовательно:

 

(2-у²-7+5у-4+у)/(у-3)⁴ <0

(-9-у²+6у)/(у-3)⁴ <0

ОДЗ: у-3 не равен 0, т.е. у не равен 3.

дробь меньше 0, когда либо числитель, либо знаменатель отрицателен. Но в нашем случае, знаменатель не может быть отрицательным, т.к. стоит в четной степени. Следовательно будеми рассматривать только числитель:

-9-у²+6у <0

для удобства домножим на (-1):

9+у²-6у >0

у²-6у+9=0

Д=36-36=0 - 1 корень

у=6/2=3

у²-6у+9 = (у-3)²

вернемся обратно к неравенству:

(у-3)²>0

решение будет у∈(-∞;3) у∈(3;+∞). Таким образом, мы получили, что выражение при любых значениях, кроме у=3 будет принимать отрицательное значение. Но у=3 не принадлежит нашему ОДЗ, следовательно мы доказали, что выражение при всех допустимых значениях переменной принимает отрицаиельные значения.