Question

2) Даны точки А (3; 5), В (-1; 8) и С (-6; 3) треугольника ABC. Найти: а) длину медианы ВД треугольника ABC; б) уравнение биссектрисы АР. вершины

​

Answer 1

Ответ:

Точки  А( 3 ; 5 ) , В( -1 ; 8 ) , С(-6 ; 3 )  .

а)  Уравнение медианы ВD .

Середина отрезка АC - точка D . Найдём её координаты .

$\bf x_{D}=\dfrac{3-6}{2}=-\dfrac{3}{2}\ \ ,\ \ \ y_{D}=\dfrac{5+3}{2}=4$  

Уравнение медианы BD :

$\bf \dfrac{x+1}{-1,5+1}=\dfrac{y-8}{4-8}\ \ ,\ \ \ \dfrac{x+1}{-0,5}=\dfrac{y-8}{-4}\ \ ,\ \ 8(x+1)=y-8\ \ ,\\\\\\BD:\ 8x+8-y+8=0\ \ ,\ \ \ y=8x+16$  

Длина ВD :

$\bf |\, BD\, |=\sqrt{\bf (-1+1,5)^2+(8-4)^2}=\sqrt{16,25}\approx 4,03$                  

б)  Уравнение биссектрисы АР .

Найдём координаты векторов  АВ и АС .

$\bf \overline{AB}=(\ -4\ ;\ 3\ )\ \ ,\ \ \ \overline{AC}=(\ -9\ ;\ -2\ )$      

Теперь найдём координаты  единичных векторов , лежащих на векторах  АВ  и  АС .

$\bf |\, \overline{AB}\, |=\sqrt{(-4)^2+3^2}=5\ \ ,\ \ |\, \overline{AC}\, |=\sqrt{(-9)^2+(-2)^2}=\sqrt{85}\\\\\overline{AB}^0=\Big(-\dfrac{4}{5}\ ;\ \dfrac{3}{5}\ \Big)\ \ ,\ \ \overline{AC}^0=\Big(-\dfrac{9}{\sqrt{85}}\ ;\ -\dfrac{2}{\sqrt{85}}\ \Big)\ \ ,\ \ |\, \overline{AB}^0\, |= |\, \overline{AC}^0\, |=1$   Если построить на единичных векторах параллелограмм , то он будет ромбом, так длины его сторон равны длинам единичных векторов , а они равны 1 .  Значит диагональ ромба, равная сумме единичных векторов , будет направлена по биссектрисе ( диагонали ромба являются биссектрисами его углов ) . Найдём направляющий вектор биссектрисы .

$\bf \overline{AB}^0+\overline{AC}^0=\Big(-\dfrac{4}{5}-\dfrac{9}{\sqrt{85}}\ ;\ \dfrac{3}{5}-\dfrac{2}{\sqrt{85}}\ \Big)=\Big(\ -\dfrac{4\sqrt{85}+45}{5\sqrt{85}}\ ;\ \dfrac{3\sqrt{85}-10}{5\sqrt{85}}\ \Big)$    

Можно взять вектор, коллинеарный сумме единичных векторов :  

$\bf \overline{s}=\Big(\ -4\sqrt{85}-45\ ;\ 3\sqrt{85}-10\ \Big)$  

Запишем уравнение биссектрисы AP , проходящей через точку А , параллельно вектору s :

$\bf AP:\ \dfrac{x-3}{-4\sqrt{85}-45}=\dfrac{y-5}{3\sqrt{85}-10}$