Question

[
[2]
4. Основания равнобокой трапеции ABCD равны 10 см и 22 см, а высота — 8 см. Найдите:
а) диагональ трапеции AC;
b) радиус окружности, описанной около трапеции.
B
D

Answer 1

Ответ:

Диагональ трапеции АС = 8√5 см; радиус окружности, описанной около трапеции 5√5 см.

Объяснение:

Пусть дана трапеция ABCD - равнобокая.

Основания ВС =10 см, AD=22см, а высота СН= 8 см.

Так как трапеция равнобедренная, то НD=(22 - 10) : 2= 12:2 = 6 см.

Тогда АН = 22 - 6 = 16 см.

Рассмотрим Δ АСН - прямоугольный треугольник.

Воспользуемся теоремой Пифагора: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

$AC ^{2} =AH^{2} +HC^{2} ;\\AC= \sqrt{AH^{2} +HC^{2} } ;\\AC= \sqrt{16^{2}+8^{2} } =\sqrt{256+64} =\sqrt{320} =\sqrt{64\cdot5} =8\sqrt{5}$ см.

Рассмотрим Δ СНD - прямоугольный. Найдем гипотенузу по теореме Пифагора

$CD^{2} =CH^{2} +HD^{2} ;\\CD =\sqrt{CH^{2} +HD^{2} } ;\\CD= \sqrt{6^{2}+8^{2} } =\sqrt{36+64} =\sqrt{100} =10$

Окружность , описанная около трапеции,  описана около треугольника Δ АСD.

Радиус  окружности описанной около треугольника определим по формуле

$R= \dfrac{abc}{4S} ;$

Стороны треугольника равны  22 см, 10 cм и 8√5 см.

Площадь треугольника найдем по формуле

$S= \dfrac{1}{2} \cdot AD\cdot CH;\\\\S= \dfrac{1}{2} \cdot 22\cdot 8=11\cdot8 =88$  см².

$R= \dfrac{22\cdot10\cdot 8\sqrt{5} }{4\cdot 88} = \dfrac{1\cdot10\cdot 8\sqrt{5} }{4\cdot 4} =\dfrac{2\cdot5\cdot 2\cdot4\sqrt{5} }{4\cdot 4} =5\sqrt{5}$ см.