Question

(2-3x)^5-x^5-x^3-x+4=0

Answer 1

Раскрывать скобку пятой степени - извращение. Сделаем красиво. Подбором легко найти x=1.

Докажем, что других корней действительных корней вовсе нет. Пусть $f(x)=(2-3x)^5-x^5-x^3-x+4$

Возьмём производную:

$f'(x)=-15(2-3x)^4-(5x^4+3x^2+1)$

Первое слагаемое ≤0, это ясно. Что со вторым? Посмотрим. Обозначим t=x². Рассмотрим многочлен

p(t)=5t²+3t+1

Его дискриминант отрицателен, ветви параболы направлены вверх, а значит p(t)>0 и значит -p(t)<0 и тогда и f'(x)<0 как сумма двух отрицательных слагаемых. Значит функция f(x) убывает при любом x, а значит ее график пересекает ось Ох лишь раз и следовательно наше уравнение f(x)=0 имеет только 1 корень, который мы нашли подбором. Итак: x=1