Question

19.4^x+ 4^-x<=(знакменьше или равно)20

Answer 1

Ответ: $[\log_4(10-\sqrt{99}); \log_4(10+\sqrt{99})]$

Объяснение:

$4^x+4^{-x}\leqslant 20 \; | \; \cdot4^x>0\\16^x-20\cdot4^x+1\leqslant 0\\D/4=100-1=99\\4^{x_{1,2}}=10\pm\sqrt{99}\\4^x \in [10-\sqrt{99}; 10+\sqrt{99}]\\x\in [\log_4(10-\sqrt{99}); \log_4(10+\sqrt{99})]$

Answer 2

Ответ:

$4^{x}+4^{-x}\leq 20\\\\4^{x}+\dfrac{1}{4^{x}} -20\leq 0\ \ \ ,\ \ \ \dfrac{(4^{x})^2-20\cdot 4^{x}+1}{4^{x}}\leq 0\ \ ,\\\\tak\ kak\ \ 4^{x}>0\ \ \ \Rightarrow \ \ \ (4^{x})^2-20\cdot 4^{x}+1\leq 0\ \ ,\\\\zamena:\ \ t=4^{x}>0\ \ ,\ \ t^2-20t+1\leq 0\ \ ,\ \ D/4=99\ \ ,\ \ t_{1,2}=10\pm 3\sqrt{11}\ ,\\\\t_1\approx 0,05\ \ ,\ \ t_2\approx 19,95\\\\znaki:\ \ \ +++[\, 10-3\sqrt{11}\, ]---[\, 10+3\sqrt{11}\, ]+++$

$t\in [\ 10-3\sqrt{11}\ ;\ 10+3\sqrt{11}\ ]\ \ \ \Rightarrow \ \ \ \left\{\begin{array}{l}4^{x}\geq 10-3\sqrt{11}\\4^{x}\leq 10+3\sqrt{11}\end{array}\right$

Учтём, что  $y=4^{x}$  возрастающая функция:

$\left\{\begin{array}{l}4^{x}\geq 4^{log_4(10-3\sqrt{11})}\\4^{x}\leq 4^{log_4(10+3\sqrt{11})}\end{array}\right\ \ \ \left\{\begin{array}{l}x\geq log_4(10-3\sqrt{11})\\x\leq log_4(10+3\sqrt{11})\end{array}\right\\\\\\ log_4(10-3\sqrt{11})\leq \ x\ \leq log_4(10+3\sqrt{11})\\\\\\Otvet:\ \ x\in [\ log_4(10-3\sqrt{11})\ ;\ log_4(10+3\sqrt{11})\ ]$