18.11.° Доведіть нерівність: 1) a² + b² - 16а + 14b + 114 > 0; 2) x²+y² +10>6x-2y; 3) c² + 5d² + 4cd-4d+4>0; 4) a² +b² + c² >2(a+b+c)-3. 18.12.° Доведіть, що коли а є [0; 1]
Ответы на вопрос
Ответ:
18.11. Для доведення нерівності 1) a² + b² - 16а + 14b + 114 > 0, розкриваємо дужки:
a² + b² - 16а + 14b + 114 > 0
(a - 8)² - 64 + (b + 7)² - 49 + 114 > 0
(a - 8)² + (b + 7)² - 64 - 49 + 114 > 0
(a - 8)² + (b + 7)² + 1 > 0
Розглядаємо отриману нерівність: (a - 8)² + (b + 7)² + 1 > 0
Оскільки сума квадратів будь-яких чисел завжди більше або дорівнює 0, а в даному випадку ми маємо додаток 1, то ця нерівність завжди буде виконуватися.
2) x² + y² + 10 > 6x - 2y
Переносимо всі члени в одну частину:
x² - 6x + y² + 2y + 10 > 0
Завершуємо квадрат, додаючи і віднімаючи потрібні члени:
(x² - 6x + 9) + (y² + 2y + 1) > 0
(x - 3)² + (y + 1)² > 0
Рівняння квадрату завжди більше або дорівнює 0, згідно властивості невід'ємного суми квадратів чисел. Тому ця нерівність також завжди буде виконуватися.
3) c² + 5d² + 4cd - 4d + 4 > 0
Переносимо всі члени в одну частину:
c² + 5d² + 4cd - 4d + 4 - 4 > 0 - 4
c² + 5d² + 4cd - 4d > -4
(c² + 4d) + 5d² + 4cd - 4d > -4
(c² + 4d) + d(5d + 4c - 4) > -4
Оскільки добуток різниці квадратів двох чисел і числа, що лежить між ними, завжди більший або дорівнює 0, то ця нерівність завжди буде виконуватися.
4) a² + b² + c² > 2(a + b + c) - 3
Переносимо всі члени в одну частину:
a² + b² + c² -
Объяснение:
КАРОЧЕ ВРОДЕ ТАК