Question

16 балов ХЕЛЬП пж
Знайти найбільше і найменше значення функції
y=x⁴+4x³-8x²
на відрізку
⁻[tex]-\frac{1}{4} ::::::::2

Answer 1

Ответ:

Наибольшее значение функции 16, а наименьшее -3.

Пошаговое объяснение:

$y=x^{4} +4x^{3} -8x^{2}$

Найдем производную

$y' = 4x^{3} +4\cdot3x^{2} -8\cdot2x= 4x^{3} +12x^{2} -16x$

Найдем критические точки, решив уравнение:

$4x^{3} +12x^{2} -16x=0;\\4x( x^{2} +3x-4)=0;\\1) x=0\\2) x^{2} +3x-4=0;\\D= 3^{2} -4\cdot1\cdot(-4)=9+16=25 ;\\\\x{_1}= \dfrac{-3-5}{2} =\dfrac{-8}{2} =-4;\\\\x{_2}= \dfrac{-3+5}{2} =\dfrac{2}{2} =1.$

-4; 0; 1 - критические точки .

Заданному отрезку $[-\dfrac{1}{4} ;2]$  принадлежат  точки  0 и 1 .

Найдем значения функции на концах отрезка и в точках 0 и 1.

$y\left( -\dfrac{1}{4}\right )=\left ( -\dfrac{1}{4}\right)^{4} +4\cdot\left( -\dfrac{1}{4}\right) ^{3} -8\cdot\left( -\dfrac{1}{4}\right)^{2} =\dfrac{1}{256} -4\cdot \dfrac{1}{64} -8\cdot \dfrac{1}{16} =\\\\=\dfrac{1}{256} -\dfrac{1}{16} -\dfrac{1}{2} =\dfrac{1-16-128}{256} =- \dfrac{143}{256} ;$

$y(0) = 0^{4} +4\cdot 0^{3} -8\cdot 0^{2} =0 ;$

$y(1) = 1^{4} +4\cdot 1^{3} -8\cdot 1^{2} =1+4-8=-3 ;$

$y(2) = 2^{4} +4\cdot 2^{3} -8\cdot 2^{2} = 16+32-32=16$

$max y(x)= 16;\\min y(x)= -3.$