Question

11 класс. Уравнение с параметром. Ответ — [2,5; 3,5], у меня не сходится (получается [2,8; 6]).

Answer 1

рассмотрим наше уравнение:

$displaystyle 4cos^43x-4(a-3)cos^23x-(2a-5)=0$

выполним замену cos²3x=t; t≥0

$displaystyle 4t^2-4(a-3)t-(2a-5)=0$

чтобы уравнение имело хотя бы один корень надо чтобы D≥0

$displaystyle D=16(a-3)^2+4*4(2a-5)=16(a-2)^2geq 0$

Это неравенство выполняется для любых a

тогда проверим корни, необходимо чтобы t≥0

$displaystyle t_{1.2}=frac{4(a-3)pm 4|a-2|}{8}=frac{(a-3)pm |a-2|}{2}$

рассмотрим первый корень

$displaystyle t_1=frac{(a-3)+|a-2|}{2}\\1.1.ageq 2\\t_1=frac{a-3+a-2}{2}=frac{2a-5}{2}geq 0\\ageq 2.5\\1.2. a<2\\t_1=frac{a-3-a+2}{2}=-frac{1}{2}$

значит при а≥2.5 мы получим один положительный корень (относительно t)

проверим второй корень

$displaystyle t_2=frac{(a-3)-|a-2|}{2}\\2.1. ageq 2\\t_2=frac{a-3-a+2}{2}=-frac{1}{2}\\2.2. a<2\\t_2=frac{a-3-2+a}{2}=frac{2a-5}{2}geq 0; ageq 2.5$

тут положительных корней не получим.

значит рассмотрим один положительный корень t=(2a-5)/2.  при а≥2,5

выполним обратную замену

$displaystyle cos^23x=frac{2a-5}{2}\\cos3x=pmsqrt{frac{2a-5}{1}}\\|cos3x|leq 1; pmsqrt{frac{2a-5}{2}}leq 1$

рассмотрим положительный корень

$displaystyle sqrt{frac{2a-5}{2}}leq 1; frac{2a-5}{2}leq 1; 2a-5leq 2; aleq 3.5$

рассмотрим отрицательный корень

$displaystyle -sqrt{frac{2a-5}{2}}leq 1; sqrt{frac{2a-5}{2}}geq -1$

выполняется для всех а≥2.5

Собираем все вместе 2,5≤а≤3,5

Answer 2

Это раскрытие модуля

Answer 3

лучший ответ вам предложат поставить
и человеку ответившему будет приятно и вы обратно часть баллов получите

Answer 4

пока не вижу такой кнопки, может, позже появится