Question

100 балов! срочно! решить неравенство!
${7}^{x - 5} > {3}^{ {x}^{2} + x - 30 }$
​

Answer 1

***

$\diplaystyle \bf7^{x - 5} > 3^{x^2 + x - 30}$

$\diplaystyle\bf x^2+x-30$

• ax² + bx + c = 0, где a - старший коэффициент, не равный нулю, b-второй коэффициент, c - свободный член

решаем квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$\diplaystyle \bf a=1 \\b=1\\c=(-30)$

$\diplaystyle\bf D=b^2-4ac=(1)^2-4\cdot 1 \cdot (-30)=1-\left(-120\right)=1+120=121$

находим корни уравнения:

$\displaystyle \bf X_{1:2}=\frac{-b\pm \sqrt D}{2a} =\frac{-1\pm \sqrt {121}}{2\cdot1} =\frac {-1\pm 11}{2}\\\\\\X_1=\frac{-b+ \sqrt D}{2a} =\frac{-1+ \sqrt {121}}{2\cdot1} =\frac {-1+ 11}{2}=\frac{10}{2} =5\\\\X_2=\frac{-b- \sqrt D}{2a} =\frac{-1- \sqrt {121}}{2\cdot1} =\frac {-1- 11}{2}=\frac{-12}{2} =-6$

$\diplaystyle\bf ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$

=>

$\diplaystyle\bf x^2+x-30=1\Big(x-(-6)\Big)\Big(x-5\Big)=\Big(x+6\Big)\Big(x-5\Big)$

=>

$\displaystyle\bf7^{x - 5} > 3^{(x + 6)(x - 5)}$

прологарифмируем обе части уравнения по основанию 7:

$\displaystyle \bf log_7 7^{x - 5} > log_7 3^{(x + 6)(x - 5)}$

$\displaystyle \bf (x - 5) - (x + 6)(x - 5) log_7 3 > 0$

$\displaytyle \bf \Big(x - 5\Big) \Big(xlog_7 3 + 6log_7 3 - 1\Big) > 0$

корни  $\displaystyle\bf 5, \frac{1 - 6 log_73}{log_7 3} < 0$

$\boxed{\displaystyle\bf \frac{1 - 6 log_73}{log_7 3} < x < 5}$

Answer 2

Решение .

    $\bf 7^{x-5} > 3^{x^2+x-30}$  

По теореме Виета найдём корни квадратного трёхчлена.

$\bf x^2+x-30=0\ \ \ \to \ \ \ x_1=5\ ,\ x_2=-6\ \ \Rightarrow \\\\x^2+x-30=(x-5)(x+6)$

Преобразуем степень.

$\bf 7^{x-5} > 3^{(x-5)(x+6)}\ \ \ \to \ \ \ \dfrac{7^{x-5}}{7^{x-5}} > \dfrac{3^{(x-5)(x+6)}}{7^{x-5}}\ \ \ \ (7^{x-5} > 0)}\ \ ,\\\\1 > \Big(\dfrac{3^{x+6}}{7}\Big)^{x-5}\ \ \ ,\ \ \ \Big(\dfrac{3^{x+6}}{7}\Big)^{x-5} < 1$  

Прологарифмируем неравенство по основанию 3 ,  3>1 .

$\bf log_3\Big(\dfrac{3^{x+6}}{7}\Big)^{x-5} < log_31\ \ ,\ \ \ (x-5)\cdot log_3\Big(\dfrac{3^{x+6}}{7}\Big) < 0\ \ \ ,\\\\\\(x-5)\cdot (log_3\, 3^{x+6}-log_37) < 0\ \ ,\ \ \ (x-5)\cdot ((x+6)\, \underbrace{log_33}_{1}-log_37) < 0\ ,\\\\(x-5)\cdot (x+6-log_37) < 0$  

Решаем методом интервалов . Найдём нули функции, стоящей в левой части неравенства .

$\bf a)\ \ x-5=0\ \ ,\ \ x=5\\\\b)\ \ x+6-log_37=0\ \ ,\ \ \ x=log_37-6\approx 1,7712-6=-4,2288 < 5$  

Знаки:   + + + + + ( $\bf log_37-6$ ) - - - - - (5) + + + + +  

Ответ:  $\boldsymbol {x\in (\ log_37-6\ ;\ 5\ )\ }\ .$