100 баллов! срочно! решить неравенство \sqrt{x + a} + \sqrt{x} < a а - параметр

Ответ: a≤1⇒решений нет; a> 1⇒ x\in\left[0;\dfrac{(a-1)^2}{4}\right). Объяснение: Левая часть неравенства неотрицательна, поэтому при a≤0 решений нет. Пусть a>0. Рассмотрим функцию f(x)=\sqrt{x+a}+\sqrt{x}. Это возрастающая функция на своей области определения x\in [0;+\infty). Если a\in(0;1], f(0)=\sqrt{a} \ge a, а тогда в силу возрастания f(x)≥a на области определения, поэтому при таких a решений нет. Пусть a>1. В этом случае f(0)=\sqrt{a} < a, и нам нужно поймать момент, когда f(x) станет равен a. Итак, решаем уравнение \sqrt{x+a}+\sqrt{x}=a. Обозначим \sqrt{x+a}=p > 0; \ \sqrt{x}=q\ge 0. Поскольку p²-q²=a, уравнение равносильно системе \left \{ {{p+q=a} \atop {p^2-q^2=a}} \right. \Leftrightarrow \left \{ {{p+q=a} \atop {(p-q)(p+q)=a}} \right.\Leftrightarrow \left \{ {{p+q=a} \atop {p-q=1}} \right.\Leftrightarrow \left \{ {{p=\frac{a+1}{2}} \atop {q=\frac{a-1}{2}}} \right.\Leftrightarrow \left \{ {{\sqrt{x+a}=\frac{a+1}{2}} \atop {\sqrt{x}=\frac{a-1}{2}}} \right.\Leftrightarrow \Leftrightarrow \left \{ {{x+a=\frac{(a+1)^2}{4}} \atop {x=\frac{(a-1)^2}{4}}} \right.\Leftrightarrow x=\dfrac{(a-1)^2}{4}. Напомним еще раз, что функция f(x) возрастающая, поэтому слева от найденной точки функция меньше a, справа - больше a. Не забываем и про область определения.

Алгебра, вопрос задал Novaya22 , 2 года назад

100 баллов! срочно! решить неравенство
$\sqrt{x + a} + \sqrt{x} < a$
а - параметр

Ответы на вопрос

Ответил yugolovin

Ответ:

a≤1⇒решений нет; a> 1⇒ $x\in\left[0;\dfrac{(a-1)^2}{4}\right).$

Объяснение:

Левая часть неравенства неотрицательна, поэтому при a≤0 решений нет.

Пусть a>0. Рассмотрим функцию $f(x)=\sqrt{x+a}+\sqrt{x}.$ Это возрастающая функция на своей области определения $x\in [0;+\infty).$

Если $a\in(0;1],$ $f(0)=\sqrt{a} \ge a,$ а тогда в силу возрастания f(x)≥a на области определения, поэтому при таких a решений нет.

Пусть a>1. В этом случае $f(0)=\sqrt{a} < a,$ и нам нужно поймать момент, когда f(x) станет равен a. Итак, решаем уравнение $\sqrt{x+a}+\sqrt{x}=a.$

Обозначим $\sqrt{x+a}=p > 0; \ \sqrt{x}=q\ge 0.$ Поскольку p²-q²=a, уравнение равносильно системе $\left \{ {{p+q=a} \atop {p^2-q^2=a}} \right. \Leftrightarrow \left \{ {{p+q=a} \atop {(p-q)(p+q)=a}} \right.\Leftrightarrow \left \{ {{p+q=a} \atop {p-q=1}} \right.\Leftrightarrow \left \{ {{p=\frac{a+1}{2}} \atop {q=\frac{a-1}{2}}} \right.\Leftrightarrow \left \{ {{\sqrt{x+a}=\frac{a+1}{2}} \atop {\sqrt{x}=\frac{a-1}{2}}} \right.\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow \left \{ {{x+a=\frac{(a+1)^2}{4}} \atop {x=\frac{(a-1)^2}{4}}} \right.\Leftrightarrow x=\dfrac{(a-1)^2}{4}.$ Напомним еще раз, что функция f(x) возрастающая, поэтому слева от найденной точки функция меньше a, справа - больше a. Не забываем и про область определения.