Question

100 б + лучший ответ! Тригонометрия, найти область определения (с подробным решением):

Answer 1

Ответ:$x$ ∈ $[-5 ; -\sqrt{3}]$ ∪ $[\sqrt{3};5]$

Объяснение:

Область определения или область задания функции — множество, на котором задаётся функция. В каждой точке этого множества значение функции должно быть определено.

Для $y=arcsinx$   $x$∈$[-1 ; 1]$

Для $y=arccosx$   $x$∈$[-1 ; 1]$

Решаем систему:

$\left \{ {{-1\leq \frac{3}{x^2} \leq 1} \atop {-1\leq \frac{x}{5}\leq 1}} \right.$

Четыре уравнения.

1) $\frac{3}{x^2}\geq -1$  ⇒  $\frac{3}{x^2} + 1\geq 0$

Выполняется для любых $x$.

2) $\frac{3}{x^2}\leq  1$ ⇒ $\frac{3}{x^2} - 1 \leq 0$  ⇒

$\frac{3-x^2}{x^2}\leq 0$

Дробь может быть меньше либо равно нулю тогда и только тогда, когда ее числитель неотрицателен, а знаменатель отрицателен, либо когда ее числитель отрицателен или равен нулю, а знаменатель положителен, т.е. в первом случае:

$\left \{ {{3-x^2\geq 0} \atop {x^2<0}} \right.$

$x$∈∅ (ни один $x$ не удовлетворяет данному условию, так как $x^2$ всегда положителен)

Во втором случае:

$\left \{ {{3-x^2\leq 0} \atop {x^2>0}}\right.$ ⇒ $\left \{ {{x^2\geq 3} \atop {x^2>0}}\right.$ ⇒ решением этого случая будет являться:

$x$ ∈ $(-\infty;-\sqrt{3}]$ ∪  $[\sqrt{3};+\infty)$

3)  $\frac{x}{5}\leq 1$ ⇒ $\frac{x-5}{5}\leq 0$ ⇒ $x-5\leq 0$  ⇒ $x\leq 5$

4) Аналогично третьему уравнению находим:

$x\geq -5$

Находим пересечение всех полученных промежутков:

1) ∀$x$

2) $x$ ∈ $(-\infty;-\sqrt{3}]$ ∪  $[\sqrt{3};+\infty)$

3) $x\leq 5$

4) $x\geq -5$

Ответ: $x$ ∈ $[-5 ; -\sqrt{3}]$ ∪ $[\sqrt{3};5]$