Question

10 номер

изменить порядок интегрирования в повторном интеграле,вычислить его рациональным способом

Answer 1

Ответ:

Изменить порядок интегрирования .

$\displaystyle \bf 8)\ \ \int\limits_{-6}^2\, dy\int\limits_{\frac{y^2}{4}-1}^{2-y}\, dx$                      

Область интегрирования :  $\bf D:\left\{\begin{array}{l}\bf -6\leq y\leq 2\\\bf \dfrac{y^2}{4}-1\leq x\leq 2-y\end{array}\right$   .

Найдём точки пересечения прямой  $\bf x=2-y$ и параболы  $\bf x=\dfrac{y^2}{4}-1$

$\bf x=2-y\ \ \Rightarrow \ \ \ y=2-x\\\\x=\dfrac{y^2}{4}-1\ \ \Rightarrow \ \ y^2=4x+4\\\\(2-x)^2=4x+4\ \ \Rightarrow \ \ \ x^2-4x+4=4x+4\ \ ,\ \ x^2-8x=0\ ,\\\\x\, (x-8)=0\ \ ,\ \ x_1=0\ ,\ \ x_2=8$  

Заданная область проектируется на ось ОУ в отрезок [-6 ; 2 ] . Если меняем порядок интегрирования , то получим две области, которые проектируем на ось ОХ .  

$\displaystyle \bf \int\limits_{-6}^2\, dy\int\limits_{\frac{y^2}{4}-1}^{2-y}\, dx=\int\limits_{-1}^0\, dx\int\limits_{-\sqrt{4x+4}}^{\sqrt{4x+4}}\, dy+\int\limits_{0}^8\, dx\int\limits_{-\sqrt{4x+4}}^{2-x}\, dy$          

Вычислим повторный интеграл наиболее удобным способом .

$\displaystyle \bf \int\limits_{-6}^2\, dy\int\limits_{\frac{y^2}{4}-1}^{2-y}\, dx=\int\limits_{-6}^2\, dy\Big(\ x\Big|_{\frac{y^2}{4}-1}^{2-y}\ \Big)=\int\limits_{-6}^2\, \Big(2-y-\frac{y^2}{4}+1\Big)\, dy=\\\\\\=\Big(2y-\frac{y^2}{2}-\frac{y^3}{12}+y\Big)\Big|_{-6}^2=4-2-\frac{8}{12}+2-\Big(-12-18+18-6\Big)=\\\\\\=4-\frac{2}{3}+12+6=22-\frac{2}{3}=21\frac{1}{3}$  

$\bf \displaystyle 10)\ \ \int\limits_{-3}^0\, dx\int\limits_{-x}^3\, dy+\int\limits_9^3\, dx\int\limits_{x}^3\, dy$              

Две области интегрирования : $\bf D_1:\left\{\begin{array}{l}\bf -3\leq x\leq 0\\\bf -x\leq y\leq 3\end{array}\right\ \ D_2:\left\{\begin{array}{l}\bf 0\leq x\leq 3\\\bf x\leq y\leq 3\end{array}\right$

Если спроектировать эти две области на ось ОУ , то получим один отрезок  [ 0 ; 3 ] .

$\bf \displaystyle \int\limits_{-3}^0\, dx\int\limits_{-x}^3\, dy+\int\limits_9^3\, dx\int\limits_{x}^3\, dy=\int\limits_0^3\, dy\int\limits_{-y}^{y} \, dx=\int\limits_0^3\, dy\Big(\, x\, \Big|_{-y}^{y}\Big)=\\\\\\=\int\limits_0^3\Big(y+y\Big)\, dy=\int\limits_0^3\, 2y\, dy=y^2\, \Big|_0^3=9-0=9$