№1. Яке з наведених рівнянь не має коренів?
A) x² + √3 −2 = 0 ;
Б) x² +|x|= 0;
B) x² = 2x;
Г) x²-4x+5=0.
№2. Сума коренів рівняння x² + 5x + 2 = 0 дорівнює...
А) -2;
Б) -5;
В) 2;
Г) 5.
№3. Добуток коренів рівняння 2х² -12х - 7 = 0 дорівнює...
А) 7;
Б) -7;
В) 12;
Г) -3,5.
№4. Розкладіть на множники тричлен – x² - 3x + 4 .
A) -(x-4)(x+1);
Б) (x-1)(x+4);
B) -(x+4)(x-1);
Г) (x+4)(x-1)
№5. Складіть квадратне рівняння, коренями якого є числа 2+ √2 і 2-√2.
№6. Скоротити дріб 4x²+x-3/x²-1.
№7. Встановіть відповідність між рівняннями (1-4) та множиною їх коренів (А-Д).
1) 2x² +5x+3 =0;
2) 4x² -5x = 9x² -15x;
3) (3x+2)(x-4)= 5;
4) 17x² - 257x+240 = 0.
А) { -1 ; 4 1/3 }
Б) { 1 ; 240 }
В) { 0 ; 2 }
Г) { -1 ; -1,5 }
Д) { 1 ; 14 2/17 }
№8. Одна сторона прямокутника на 9 см більша за другу. Знайдіть меншу сторону прямокутника, якщо його площа дорівнює 36 см².
№9. Розв’яжіть рівняння (√x - 2)(x² + 2x - 24) = 0 .
№10. Не розв’язуючи рівняння 3x² - 2x – 6 = 0 , знайдіть значення виразів:
1) x₁² + x₂ + x₂² + x₁;
2) x₁³ + x₂³;
№11. Знайдіть усі значення параметра а, при яких сума коренів рівняння x² - (a² +2a −3)x+a = 0 дорівнює 0.
Ответы на вопрос
№ 1
Рівняння Б) x² +|x|= 0 не має розв'язків
№2 Б)
№3 Б)
№4 А)
№5 Корені заданого рівняння є 2+√2 і 2-√2, що означає, що ми можемо скласти квадратне рівняння зі стандартною формою
(x - (2+√2))(x - (2-√2)) = 0
Розкриваємо дужки, використовуючи формулу різниці квадратів:
(x - 2 - √2)(x - 2 + √2) = 0
Отримали квадратне рівняння з коренями 2+√2 і 2-√2:
x² - 4x + 2 = 0.
№6 x2−14x2+x−3=(x+1)(x−1)(4x−3)(x+1)=x−14x−3
Отже, спрощений дріб має вигляд $\frac{4x - 3}{x - 1}$.
№7 2x² +5x+3 = 0 --> A)
4x² -5x = 9x² -15x --> В)
(3x+2)(x-4)= 5 --> Г)
17x² - 257x+240 = 0 --> Д)
№8 . За умовою, площа прямокутника дорівнює 36 квадратних сантиметрів, тобто маємо рівність:
x(x + 9) = 36
Розкриваємо дужки та переносимо все у один бік рівності:
x² + 9x - 36 = 0
Далі розв'язуємо це квадратне рівняння за допомогою формули дискримінанту:
D = b² - 4ac = 9² + 4·1·36 = 225
x₁,₂ = (-b ± √D) / (2a) = (-9 ± 15) / 2
x₁ = 3, x₂ = -12
Оскільки від'ємна відповідь не має сенсу у даній задачі, то менша сторона прямокутника дорівнює 3 см.
№9 перший добуток дорівнює нулю, якщо √x - 2 = 0, тобто √x = 2, а x = 4;
другий добуток дорівнює нулю, якщо x² + 2x - 24 = 0, тобто (x+6)(x-4) = 0, тому x1 = -6, а x2 = 4.
Отже, розв'язками рівняння є x1 = -6, x2 = 4.
№10 Застосуємо формули В'єта для квадратного рівняння ax² + bx + c = 0 з коренями x₁ і x₂:
x₁ + x₂ = -b/a
x₁x₂ = c/a
Отже, для рівняння 3x² - 2x - 6 = 0, маємо:
x₁ + x₂ = 2/3
x₁x₂ = -2
x₁² + x₂ + x₂² + x₁:
Зауважимо, що:
x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² - 2x₁x₂
x₁ + x₂ = 2/3
Тоді:
x₁² + x₂ + x₂² + x₁ = (x₁ + x₂)² - x₁x₂ + x₁ + x₂
x₁² + x₂ + x₂² + x₁ = (2/3)² - (-2) + 2/3
x₁² + x₂ + x₂² + x₁ = 28/9
Отже, x₁² + x₂ + x₂² + x₁ = 28/9.
x₁³ + x₂³:
Можна скористатися формулою:
x₁³ + x₂³ = (x₁ + x₂)(x₁² - x₁x₂ + x₂²)
Тоді:
x₁³ + x₂³ = (2/3)(3x² - 2x - 6 - (-2))
x₁³ + x₂³ = 8/3
Отже, x₁³ + x₂³ = 8/3.
№11 Запишемо суму коренів рівняння через коефіцієнти:
S=−ba=a2+2a−31=a2+2a−3.
S=a−b=1a2+2a−3=a2+2a−3.
Отже, ми повинні знайти усі значення параметра $a$, для яких виконується рівність $a^2+2a-3=0$. Розв’язавши це рівняння, маємо:
a1,2=−2±22−4⋅1⋅(−3)2⋅1=−1±4=3,−1.
a1,2=2⋅1−2±22−4⋅1⋅(−3)
=−1±4
=3,−1.
Отже, сума коренів дорівнює 0, якщо $a=3$ або $a=-1$.