Алгебра, вопрос задал lnxdx , 7 лет назад

(1-x)(y'+y)=e^(-x) общее и частное решение дифференциального уравнения

Ответы на вопрос

Ответил Artem112
0

(1-x)(y'+y)=e^{-x}

y'+y=dfrac{e^{-x}}{1-x}

Решение ищем в виде произведение двух ненулевых функций:

y=uv

y'=u'v+v'u

Подставляем в уравнение:

u'v+v'u+uv=dfrac{e^{-x}}{1-x}

Предположим, что сумма первого и третьего слагаемого в левой части равна 0:

u'v+uv=0

u'+u=0

u'=-u

dfrac{du}{dx} =-u

dfrac{du}{u} =-dx

intdfrac{du}{u} =-int dx

ln|u| =-x

u=e^{-x}

Тогда, второе слагаемое в левой части равно правой части:

v'u=dfrac{e^{-x}}{1-x}

v'cdot e^{-x}=dfrac{e^{-x}}{1-x}

v'=dfrac{1}{1-x}

dfrac{dv}{dx} =dfrac{1}{1-x}

dv=dfrac{dx}{1-x}

dv=-dfrac{d(1-x)}{1-x}

int dv=-int dfrac{d(1-x)}{1-x}

v=-ln|1-x|+ln C

v=lndfrac{C}{1-x}

Общее решение:

y=uv=e^{-x}lndfrac{C}{1-x}

Частное решение. Пусть C=1:

y_c=e^{-x}lndfrac{1}{1-x}=-e^{-x}ln(1-x)

Ответил Гpaнт
0
помогите с заданиеи
Новые вопросы