Question

1) ∫(x+1)(5x-3)dx 2)∫x^2/√1-x^2dx 3) ∫dx/3√9x-7 в 1 задании вычислить интеграл методом непосредственного интегрирования , 2 и 3 задания вычислить интеграл методом подстановки ( замены переменной) заранее спасибо 15 баллов , 5 баллов за каждое задание, заранее спасибо)))

Answer 1

$1)quad int (x+1)(5x-3)dx=int (5x^2+2x-3)dx=frac{5x^3}{3}+x^2-3x+C\\2)quad int frac{x^2, dx}{sqrt{1-x^2}} =[, x=sint,; dx=cost, dt,; t=arcsinx, ]=\\=int frac{sin^2tcdot cost, dt}{sqrt{1-sin^2t}} =int frac{sin^2tcdot cost, dt}{ sqrt{cos^2t} } =int frac{sin^2tcdot cost, dt}{cost} =int sin^2t, dt=\\=int frac{1-cos2t}{2} dt=[, int cos(kx+b)dx=frac{1}{k}sin(kx+b)+C, ]=$

$=frac{1}{2}t-frac{1}{2}cdot frac{1}{2}sin2t+C=frac{1}{2}t-frac{1}{4}cdot 2sintcdot cost+C=$

$=frac{1}{2}arcsinx+frac{1}{2}sin(arcsinx)cdot cos(arcsinx)+C=\\=frac{1}{2}arcsinx+frac{1}{2}cdot xcdot sqrt{1-x^2}+C\\3)quad int frac{dx}{3sqrt{9x-7}} =[, t=9x-7,; dt=9dx,; dx=frac{dt}{9}, ]=\\=int frac{dt}{9cdot 3sqrt{t}} =frac{1}{27}cdot 2sqrt{t}+C=frac{2}{27}cdot sqrt{9x-7}+C$