Question

1. Вычислите производную данной функции:
а). $y= x^{ frac{5}{6} }+6x$
б). $y= sqrt[5]{ x^{2} }$
в). $y= x^{ -frac{3}{8} } ( sqrt{x} -3)$
г). $y= sqrt[3]{7-6x}$
д). $y= x^{ -frac{4}{7} } - frac{1}{x}$
е). $y= sqrt[6]{ x^{5} } +4$
ж). $y= sqrt[3]{ x^{2} } ( x^{0,75}+1)$
з). $y=4(3x-1)^{ frac{3}{4} }$
и). $y= x^{ -frac{5}{8} } + sqrt{x}$
к). $y= sqrt[9]{ x^{7} }-7$
л). $y= frac{ sqrt[5]{ x^{3} } -2}{ x^{0,3} }$
м). $y=0,2(7-4x) ^{ frac{5}{8} }$
2. а). Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции $y=8 x^{-0,75}+3$ в точке x=1.
    б). Найдите скорость изменения функции $y= sqrt[3]{3x-4}$  в точке x=4.
    в). Найдите скорость изменения функции $y= sqrt[4]{(8x+9) ^{3} }$  в точке x=9.

Answer 1

1а.
$y= x^{ frac{5}{6} }+6x, y'=(x^{ frac{5}{6} }+6x )'=(x^{ frac{5}{6} })'+6x'=frac{5}{6}x^{ -frac{1}{6} }+6=frac{5}{6x^{ frac{1}{6} }}+6;$
1б.
$y= sqrt[5]{ x^{2} }, y'= (sqrt[5]{ x^{2} })'=(x^{ frac{2}{5} })'=frac{2}{5}x^{ -frac{3}{5} }=frac{2}{5x^{ frac{3}{5} }}=frac{2}{5 sqrt[5]{x^3} };$
1в.
$y= x^{ -frac{3}{8} } ( sqrt{x} -3), y'= (x^{ -frac{3}{8} } ( sqrt{x} -3))'= \ = (x^{ -frac{3}{8} })' ( sqrt{x} -3)+x^{ -frac{3}{8} } ( sqrt{x} -3)'=-frac{3}{8}x^{ -frac{11}{8} }( sqrt{x} -3)+x^{ -frac{3}{8} }cdot frac{1}{2 sqrt{x} } = \ = -frac{3}{8}x^{ -frac{11}{8} }( sqrt{x} -3)+ frac{1}{2} x^{ -frac{7}{8} };$
1г.
$y= sqrt[3]{7-6x}, y'= (sqrt[3]{7-6x})'=((7-6x)^{frac{1}{3}})'= \ = frac{1}{3}(7-6x)^{-frac{2}{3}}cdot(7-6x)'= frac{1}{3(7-6x)^{frac{2}{3}}}cdot(-6)=-frac{2}{ sqrt[3]{(7-6x)^2} };$
1д.
$y= x^{ -frac{4}{7} } - frac{1}{x} ,y'= (x^{ -frac{4}{7} } - frac{1}{x} )'=(x^{ -frac{4}{7} })' - (frac{1}{x} )' = -frac{4}{7}x^{ -frac{11}{7} } + frac{1}{x^2};$
1е.
$y= sqrt[6]{ x^{5} } +4, y'= (sqrt[6]{ x^{5} } +4)'=(x^ frac{5}{6} )'= frac{5}{6} x^{- frac{1}{6}}= frac{5}{6 sqrt[6]{x} } ;$
1ж.
$y= sqrt[3]{ x^{2} } ( x^{0,75}+1) , y'=(sqrt[3]{ x^{2} })' ( x^{0,75}+1)+sqrt[3]{ x^{2} } ( x^{0,75}+1)'= \ = frac{2}{3} x^{- frac{1}{3} }( x^{0,75}+1)+sqrt[3]{ x^{2} } cdot0,75x^{-0,25}= \ = frac{2}{3 sqrt[3]{x} } ( x^{0,75}+1)+0,75x^{-0,25}sqrt[3]{ x^{2} };$
1з.
$y=4(3x-1)^{ frac{3}{4} } , y'=4((3x-1)^{ frac{3}{4} } )'=4cdot frac{3}{4}(3x-1)^{ -frac{1}{4} } cdot(3x-1)'= \ = frac{3}{(3x-1)^{ frac{1}{4} }} cdot3= frac{9}{(3x-1)^{ frac{1}{4} }} ;$
1и.
$y= x^{ -frac{5}{8} } + sqrt{x} , y'=-frac{5}{8}x^{ -frac{13}{8} } + frac{1}{2 sqrt{x} } ;$
1к.
$y= sqrt[9]{ x^{7} }-7 , y'= frac{7}{9 sqrt[9]{x^2} } ;$
1л.
$y= frac{ sqrt[5]{ x^{3} } -2}{ x^{0,3} } , y'= frac{ (sqrt[5]{ x^{3} } -2)'x^{0,3} - (sqrt[5]{ x^{3} } -2)(x^{0,3})'}{ (x^{0,3})^2 } = \ = frac{ frac{3}{5sqrt[5]{ x^{2} }} x^{0,3} -0,3x^{-0,7} (sqrt[5]{ x^{3} } -2)}{x^{0,6} };$
1м.
$y=0,2(7-4x) ^{ frac{5}{8} } , y'=0,2cdot frac{5}{8} (7-4x) ^{- frac{3}{8} }cdot(-4)=- frac{1}{2(7-4x) ^{ frac{3}{8} }} ;$
2а.
$y=8 x^{-0,75}+3, x_0=1, \ y'=8cdot(-0,75)x^{-1,75}=-6x^{-1,75}, \ y'_{x_0}=-6cdot1^{-1,75}=6; \ k=6.$
2б.
$y= sqrt[3]{3x-4} , x_0=4, \ y'= frac{1}{3 sqrt[3]{(3x-4)^2} } cdot3=frac{1}{ sqrt[3]{(3x-4)^2} } , \ y'_{x_0}=frac{1}{ sqrt[3]{(3cdot4-4)^2} }=frac{1}{ sqrt[3]{64}}=frac{1}{ sqrt[3]{2^6}}=frac{1}{ 2^3}=frac{1}{8};$
2в.
$y= sqrt[4]{(8x+9) ^{3} }, x_0=9, \ y'= frac{3}{4sqrt[4]{8x+9} } cdot8= frac{3}{2sqrt[4]{8x+9} }; \ y'_{x_0}= frac{3}{2sqrt[4]{8cdot9+9} }=frac{3}{2sqrt[4]{(8+1)cdot9} }=frac{3}{2sqrt[4]{9^2} }=frac{3}{2sqrt[4]{3^4} }=frac{3}{2cdot3 }=frac{1}{2}.$