Question

1) Упростите выражения:

$frac{a^{6}-64}{a^{4}+4a^{2}+16}+frac{a^{4}-16}{a^{2}+4}$

2)Вычислите: 

$frac{18}{pi}*(arctg(-sqrt{3})+arcsin(-frac{sqrt{3}}{2})+arccos(-frac{sqrt{3}}{2}))$

3) Найдите значения выражения:

$sin^{2}(3arctgfrac{sqrt{3}}{3}-arccosfrac{sqrt{2}}{2})$

Answer 1

$frac{a^{6}-64}{a^{4}+4a^{2}+16}+frac{a^{4}-16}{a^{2}+4}=frac{(a^2-4)(a^4+4a^2+16)}{a^4+4a^2+16}+frac{(a^2-4)(a^2+4)}{a^2+4}=2a^2-8$

$frac{18}{pi}(mathrm{arctg},(-sqrt{3})+arcsin(-frac{sqrt{3}}{2})+arccos(-frac{sqrt{3}}{2}))=frac{18}picdot(-fracpi3+fracpi2)=3$

$sin^{2}(3mathrm{arctg}frac{sqrt{3}}{3}-arccosfrac{sqrt{2}}{2})=sin^2(3cdotfracpi6-fracpi4)=sin^2(fracpi4)=frac12$

Answer 2

$frac{(a^2)^3-4^3}{a^4+4a^2+16}+frac{(a^2)^2-16}{a^2+4}$

1)a^6-64=(a^2)^3-4^3=(a^2-4)(a^4+4a^2+16)

2)a^4-16=(a^2)^2-4^2=(a^2-4)(a^2+4)

Сократив первую и вторую дробь получим: 

$a^2-4+a^2-4=2a^2-8$

--------------------------------------------------------------------------------------------

$frac{18}{pi}*(arctg(-sqrt{3})+arcsin(frac{-sqrt{3}}{2})+arccos(frac{-sqrt{3}}{2}))=\frac{18}{pi}*(-frac{pi}{3}-frac{pi}{3}+frac{5pi}{6})=frac{18}{pi}*frac{pi}{6}=3$

---------------------------------------------------------------------------------------------

$sin^2(3arctgfrac{sqrt{3}}{3}-arccosfrac{sqrt{2}}{2})=sin^2(3frac{pi}{6}-frac{pi}{4})=sin^2frac{pi}{4}=(frac{sqrt{2}}{2})^2=0,5$