1. У прямокутному трикутнику один із катетів дорівнює 12 см,а медіана ,проведена до гіпотенузи , дорівнює10 см. Знайти довжину другого катета.
8 см
12 см
16 см
20 см
2.У прямокутному трикутнику гострий кут дорівнює 300,а бісектриса іншого гострого кута дорівнює 6 см. Знайти довжину більшого катета.
6 см
9 см
12 см
8 см
3.Знайдіть довжину гіпотенузи прямокутного трикутника,яякщо бісектриса гострого кута ділить катет на відрізки 4 см і 5 см.
18 см
12 см
10 см
15 см
Ответы на вопрос
Ответ:
1. Обозначим катеты как a и b, а гипотенузу как c. Так как медиана проведена к гипотенузе, она делит ее на две равные части, то есть AC = BC = c/2 = 10 см. Также известно, что один катет (например, a) равен 12 см. Используем теорему Пифагора:
b^2 = c^2 - a^2
Подставляем известные значения и решаем уравнение:
b^2 = 10^2 - 12^2
b^2 = 100 - 144
b^2 = -44
Так как b^2 должно быть неотрицательным числом, такое уравнение не имеет решения. Ответ: невозможно найти длину второго катета.
2. Обозначим гипотенузу как c, а катеты как a и b. Так как гострый угол равен 30 градусам, то другие два равны 60 градусам. Также известно, что биссектриса делит угол на две равные части, то есть у нас есть два прямоугольных треугольника с катетами 6 см и b/2 (половина большого катета), соответственно. Также в этих треугольниках один из острых углов равен 30 градусам. Поэтому можем написать уравнение:
tg(30) = 6 / (b/2)
tg(30) = (2*6) / b
tg(30) = 12 / b
b = 12 / tg(30)
b ≈ 20,8 см
Ответ: длина большего катета около 20,8 см (с точностью до десятых).
3. Обозначим катет, который делится биссектрисой на отрезки 4 см и 5 см, как x. Тогда другой катет равен 3x (по теореме Пифагора). Гипотенуза равна x√10, так как в прямоугольном треугольнике с катетами 4 см и 5 см гипотенуза равна √(4^2 + 5^2) = √(16 + 25) = √41, а соответствующий подобный треугольник имеет соотношение сторон 1:√10 (отношение биссектрисы к одному из катетов). Теперь можем написать уравнение по теореме Пифагора:
x^2 + (3x)^2 = (x√10)^2
x^2 + 9x^2 = 10x^2
10x^2 = 10x^2
x = 2
Тогда гипотенуза равна 2√10 * 10 = 20√10, или примерно 63,2 см (с точностью до десятых).
Ответ: длина гипотенузы около 63,2 см (с точностью до десятых).