Question

1. Сколько существует четырёхзначных чисел, первая цифра которых чётная, а последняя нечётная?


2. В оперном театре 10 певцов и 8 певиц, а в опере по замыслу композитора 5 мужских и 3 женских партии. Сколько существует различных певческих составов для спектакля, если известно, что?
а) все певцы и певицы прекрасно ладят между собой;
б) 6 певцов накануне сорвали голос, и одной певице придётся петь мужскую роль?

Answer 1

1) Возьмём четырёхзначное число и поставим ограничения на первую и последнюю цифру. Для первого места подходят все чётные цифры, кроме нуля (4 варианта), для последнего все 5 нечётных, а посередине подходят все. По правилу произведения получается 4 · 10 · 10 · 5 = 2000.

2) $a); C_{10}^5cdot C_8^3 = frac{10!}{5!cdot5!}cdotfrac{8!}{3!cdot 5!} = frac{6cdot7cdot8cdot9cdot10}{2cdot3cdot4cdot5}cdotfrac{6cdot7cdot8}{2cdot3} = 7cdot2cdot9cdot2cdot7cdot8 = 14112$

$b);C_5^5cdot C_7^3=1cdotfrac{5cdot6cdot7}{2cdot3} = 5cdot7 = 35$