Question

1) Определите градусную меру центрального угла, если площадь круга равна 36п см^2 , а площадь сектора равна 15п см^2

 

2) Объем тетраэдра равен V. Найдите сумму всех ребер тетраэдра

Answer 1

1) Площадь сектора прямо пропорциональна величине угла, поэтому искомый угол х меньше 360 град. во столько же раз, во сколько 15п см^2 меньше 36п см^2 (15/36), т.е. х=150

 

2) Пусть все рёбра по а, тогда площадь основания

$S=frac{a^2sqrt3}{4};$.

Высота тетраэдра H, высота боковой грани h и отрезок, соединяющий основания этих высот m (он равен трети медианы основания, т.к. высота тетраэдра падает в центр треугольника) связаны теоремой Пифагора:

$m^2+H^2=h^2;\ H=sqrt{h^2-m^2}$

m=h/3, т.к. все треугольники равны.

$h=afrac{sqrt3}{2}$ как высота правильного треугольника.

$H=sqrt{h^2-h^2/9}=sqrt{8h^2}/3=sqrt{8*a^2*3/4}/3=afrac{sqrt6}{3}$;

Объём

$V=SH/3=frac{a^2sqrt3}{4}*afrac{sqrt6}{3}/3=a^3sqrt2/12;\ a=sqrt[3]{12V/sqrt2};$

Всего рёбер 6, значит

$6a=6sqrt[3]{12V/sqrt2}$