Question

1. Найти общее решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными.
А) xy'-y=0
Б)yy'+x=0
2. Найти частное решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными.
tg(x)*y'=1+y если x=П/6; y=-1/2
3.Найти решение однородного дифференциального уравнения первого порядка.
yy'=2y-x

Answer 1

$xy'=y=>dfrac{dy}{y}=dfrac{dx}{x}=>lny=lnCx=>y=Cx$

$yy'=-x=>2ydy=-2xdx=>y^2=C-x^2=>y=pm sqrt{C-x^2}$

$tgx*y'=1+y=>dfrac{dy}{y+1}=dfrac{cosxdx}{sinx}=>ln(y+1)=int dfrac{d(sinx)}{sinx}}=>ln(y+1)=ln(Csinx)=>y=Csinx-1\ y(dfrac{pi}{6})=-dfrac{1}{2}=>-dfrac{1}{2}=Csindfrac{pi}{6}-1=>dfrac{1}{2}=Cdfrac{1}{2}=>C=1=>y=sinx-1$

$yy'=2y-x\ left[y=x*u(x)=>y'=\ u+xu'right]\ xu(u+xu')=2xu-x\ xu'=2-dfrac{1}{u}-u\ intdfrac{-udu}{(u-1)^2}=intdfrac{dx}{x}\ -intdfrac{((u-1)+1)du}{(u-1)^2}=lnCx\ intdfrac{du}{(u-1)}+intdfrac{du}{(u-1)^2}=-lnCx\ ln(u-1)-dfrac{1}{u-1}=-lnCx\ ln(dfrac{y}{x}-1)-dfrac{x}{y-x}=-lnCx$

Answer 2

прошу прощения данное решение по мнению учителя доведен не до конца (в первом номере под б при умножении на 2 у С потерял 2; второй верно; в третьем не до конца решил, нужно выразить у из этого выражения)

Answer 3

В номере 3 Потеряно особое решение y=x