Question

1) Диагональ d осевого сечения цилиндра наклонена к плоскости основания под углом a . Вычислите обьем цилиндра

 

2)Прямоугольный треульник с катетом а и прилежащим углом а вращается вокруг гипотенузы.Найдите обьем фигуры вращения

Answer 1

1. Осевое сечение цилиндра - прямоугольник, одна сторона которого равна высоте цилиндра, другая - диаметру основания.
Из прямоугольного треугольника АВС:
H = d · sinα
2R = d · cosα, ⇒ R = d/2 · cosα.
V = πR²H = π · d²/4 · cos²α · d · sinα = πd³ · sinα · cos²α / 4

2.
При вращении прямоугольного треугольника вокруг гипотенузы образуются два конуса с общим основанием, радиус которого равен высоте треугольника, опущенной на гипотенузу.
ΔАСН: R = a·sinα
              h₁ = a·cosα
По свойству высоты прямоугольного треугольника, ∠ВСН = ∠САН = α.
ΔВСН: h₂ = R·tgα = a·sinα · tgα = a · sin²α / cosα
V₁ = 1/3 · πR²h₁
V₂ = 1/3 · πR²h₂
V = V₁ + V₂ = 1/3 · πR² (h₁ + h₂)
V = 1/3 · π · a²·sin²α (a·cosα + a·sin²α/cosα)
V = 1/3 · π · a³·sin²α ((cos²α + sin²α) / cosα)
V = πa³·sin²α / (3cosα)