№1 Даны координаты точек А, В и С: А(-2; 3; 1), В(2; 5; -3), С(-1; 2; -3). Требуется: 1) составить канонические уравнения прямой АВ; 2) составить уравнение плоскости, проходящей через точку С перпендикулярно прямой АВ, и точку пересечения этой плоскости с прямой АВ; 3) найти расстояние от точки С до прямой АВ.
№2Составить уравнение геометрического места точек, отношение расстояний которых до данной точки А(6; 0) и до данной прямой х = 1,5 равно числу d = 2. Полученное уравнение привести к простейшему виду и затем построить кривую.
Ответы на вопрос
№1 Даны координаты точек А, В и С: А(-2; 3; 1), В(2; 5; -3), С(-1; 2; -3). Требуется:
1) составить канонические уравнения прямой АВ.
Находим вектор АВ = (2-(-2); 5-3; -3-1) = (4; 2; -4).
Канонические уравнения прямой АВ:
(x + 2)/4 = (y – 3)/2 = (z – 1)/(-4).
2) составить уравнение плоскости, проходящей через точку С перпендикулярно прямой АВ, и точку пересечения этой плоскости с прямой АВ.
Вектор АВ = (4; 2; -4) будет нормальным вектором для искомой плоскости.
Используем координаты точки С(-1; 2; -3) для уравнения плоскости.
Для составления уравнения плоскости используем формулу:
nx(x - xA) + ny(y - yB) + nz(z - zC) = 0
Подставим данные и упростим выражение:
4(x - (-1)) + 2(y – 2) + (-4)(z - (-3)) = 0
4x + 2y - 4z - 12 = 0, или, сократив на 2:
2x + y - 2z - 6 = 0.
3) найти расстояние от точки С до прямой АВ.
Из уравнения прямой получим:
s = 4; 2; -4 - направляющий вектор прямой;
M1 = -2; 3; 1 - точка лежащая на прямой.
Тогда
M0M1 = {M1x - M0x; M1y - M0y; M1z - M0z} = -2 - (-1); 3 - 2; 1 - (-3) = -1; 1; 4
Площадь параллелограмма лежащего на двух векторах M0M1 и s:
S = |M0M1 × s|
M0M1 × s = i j k
-1 1 4
4 2 -4 =
= i (1·(-4) - 4·2) - j (-1·(-4) - 4·4) + k (-1·2 - 1·4) =
= i (-4 – 8) - j (4 – 16) + k(-2 – 4) =
= -12; 12; -6.
Зная площадь параллелограмма и длину стороны найдем высоту (расстояние от точки до прямой):
d = |M0M1×s|/|s| = √((-12)² + 12² + (-6)²)/√(4² + 2² + (-4)²) = √324/√36 = √9 = 3.
№2 Составить уравнение геометрического места точек, отношение расстояний которых до данной точки А(6; 0) и до данной прямой х = 1,5 равно числу d = 2. Полученное уравнение привести к простейшему виду и затем построить кривую.
Если r – расстояние от произвольной точки М до какого - либо фокуса, d – расстояние от той же точки M до соответствующей ему директрисы, то отношение r/d – величина постоянная, равная эксцентриситету r/d = е.
Это определение соответствует гиперболе - плоской кривой, которая имеет уравнение (x²/a²) – (y²/b²) = 1. Это каноническое уравнение гиперболы, в нем координатные оси совпадают с осями гиперболы.
Точка А – это фокус гиперболы, имеем поэтому с = 6, а заданное соотношение расстояний d = 2 это эксцентриситет е = 2.
Находим а = с/е = 6/2 = 3.
Находим второй параметр b = √(c² - a²) = √(36 – 9) = √27 = 3√3.
Получаем каноническое уравнение гиперболы (x²/3²) – (y²/(3√3)²) = 1.
