Question

1 Дано вектори a(2; -1; 4), b(5; 3;n). При якому значенні п скалярний добуток векторів дорівнює -3?
2 Знайдіть cos решите и распишите пожалуйста

Answer 1

Щоб знайти значення n, при якому скалярний добуток векторів a і b дорівнює -3, ми можемо скористатися властивостями скалярного добутку векторів. Скалярний добуток двох векторів a і b визначається за формулою:

a · b = a₁ * b₁ + a₂ * b₂ + a₃ * b₃

Для даного завдання, ми маємо:
a = (2, -1, 4)
b = (5, 3, n)

Таким чином, ми можемо записати скалярний добуток:

2 * 5 + (-1) * 3 + 4 * n = -3

10 - 3 + 4n = -3

4n + 7 = -3

4n = -10

n = -10/4

Отже, значення n, при якому скалярний добуток векторів a і b дорівнює -3, дорівнює -2.5.

Щоб знайти косинус кута між векторами a і b, ми можемо скористатися формулою:

cosθ = (a · b) / (||a|| ||b||)

Де (a · b) - скалярний добуток векторів a і b, ||a|| - норма (довжина) вектора a, ||b|| - норма (довжина) вектора b.

Записавши вектори a і b, ми маємо:
a = (2, -1, 4)
b = (5, 3, -2.5)

Довжина вектора a (||a||) може бути обчислена за формулою:

||a|| = sqrt(a₁² + a₂² + a₃²)

||a|| = sqrt(2² + (-1)² + 4²) = sqrt(4 + 1 + 16) = sqrt(21)

Довжина вектора b (||b||) може бути обчислена за формулою:

||b|| = sqrt(b₁² + b₂² + b₃²)

||b|| = sqrt(5² + 3² + (-2.5)²) = sqrt(25 + 9 + 6.25) = sqrt(40.25)

Тепер, підставивши ці значення в формулу косинусу, ми отримуємо:

cosθ = (-3) / (sqrt(21) * sqrt(40.25))

Остаточний результат залежить від значення n, яке було обчислене раніше. Підставте значення n = -2.5 і обчисліть косинус, напевно так.