Question

1. Дано a+b+c=0 i a² +b² +c² =1. Довести, що a⁴+ b⁴ + c⁴=1/2​

Answer 1

Ответ:

Доказано, что сумма четвертых степеней равна $\dfrac{1}{2}.$    

Пошаговое объяснение:

                                         a+b+c=0⇒c=-a-b;

                    a²+b²+c²=a²+b²+(-a-b)²=2a²+2b²+2ab=1⇒

  $(2a^2+2b^2+2ab)^2=1^2;\ 4a^4+4b^4+4a^2b^2+8a^2b^2+8a^3b+8ab^3=1;$

                            $a^4+b^4+3a^2b^2+2a^3b+2ab^3=\dfrac{1}{4}.$

$a^4+b^4+c^4=a^4+b^4+(-a-b)^4=a^4+b^4+a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4=$

                  $=2(a^4+b^4+3a^2b^2+2a^3b+2ab^3)=2\cdot \dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{2}.$

Мы пользовались формулами

                   $(x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2yz;$

                        $(x+y)^4=x^4+4x^3y+6x^2y^2+4xy^3+y^4.$