Question

1)Дана функция f(x)= - x^3/3 +x^2/2+2x-3 Найти ее критические точки.

2) Найти экстремумы функции $f(x)=(6-3x) sqrt{x}$

Answer 1

f"(x)=-x^2+x+2

-x^2+x+2=0

D=1+8=9

x1=-1+3=2

x2=-1-3=-4

f(2)=-8/3+2+4-3=1/3

F(-4)=-64/3+8-8-3=-73/3

Answer 2

Объяснение:

1)

$f(x) =-frac{x^{3} }{3} +frac{x^{2} }{2} +2x-3$

D(f) =R

Внутренние точки области определения, в которых производная равна нулю  или не существует, называются критическими точками.

$f'(x) =-frac{3x^{2} }{3} +frac{2x}{2} +2 ;\\f'(x) = -x^{2} +x+2;\-x^{2} +x+2 =0|*(-1) ;\x^{2} -x-2=0;\D= 1+8=9>0 \left [begin{array}{lcl} {{x=-1,} \ {x=2.}} end{array} right.$

Ответ : -1; 2.

2)

$f(x) = (6-3x) sqrt{x}$

D(f) =[0; +∞)

$f'(x) = (6-3x)'*sqrt{x} +(6-3x)* (sqrt{x} )'= -3*sqrt{x} +frac{6-3x}{2sqrt{x} } =\\frac{-6x+6-3x}{2sqrt{x} } =frac{6-9x}{2sqrt{x} } ;\f'(x) =0;\6-9x=0;\-9x=-6;\x=-6:(-9) ;\x=frac{2}{3} .$

$x=frac{2}{3}$ - критическая точка .

При переходе через эту точку производная меняет свой знак с "+"

на "-".  Значит $x=frac{2}{3}$ - точка максимума .

Найдем значение функции в данной точке . Это и будет максимум функции

$f(frac{2}{3} = (6-3*frac{2}{3} ) sqrt{frac{2}{3} } =(6-2)* frac{sqrt{2} }{sqrt{3} } = 4*frac{sqrt{6} }{3} =frac{4sqrt{6} }{3} .$

Ответ : $frac{4sqrt{6} }{3}$  - максимум функции.