Question

1) 3cos^2x-sinx-1=0 2)tg^2x-sinx+1=0 3)tg^2x-sinx+1=0 4)4sin^2x-cosx-1=0

Answer 1

$3cos^2x-sin x-1=0\ 3cdot(1-sin^2x)-sin x-1=0\ 3-3sin^2x-sin x-1=0\ -3sin^2x-sin x+2=0|cdot(-1)\ 3sin^2x+sin x-2=0$
Пусть $sin x=t$, причем $|t| leq 1$, тогда имеем
$3t^2+t-2=0\ D=b^2-4ac=1^2-4cdot3cdot(-2)=1+24=25\ \ t_1= dfrac{-b+ sqrt{D} }{2a}= dfrac{-1+5}{2cdot3} = dfrac{2}{3} \ \ t_2= dfrac{-b- sqrt{D} }{2a}= dfrac{-1-5}{2cdot3} =-1$
Обратная замена
$sin x= frac{2}{3} \ x_1=(-1)^kcdot arcsinfrac{2}{3} + pi k,k in mathbb{Z}$
$sin x=-1\ x_2=- frac{pi}{2} +2 pi k,k in mathbb{Z}$

Номер 2) и 3) совпадают
$tg^2x-sin x+1=0$
ОДЗ: $cos^2xne0,,,,, Rightarrow,,,,, xne frac{pi}{2}+ pi n,n in mathbb{Z}$

$frac{sin^2x}{cos^2x} +1-sin x=0\ \ frac{sin^2x}{1-sin^2x} +1-sin x=0$
Пусть $sin x=t(|t| leq 1)$, тогда имеем
$frac{t^2}{1-t^2} +1-t=0|cdot(1-t^2)\ t^2+(1-t)(1-t^2)=0\ t^2+1-t^2-t+t^3=0\ t^3-t+1=0$
Кубическое уравнение можно решить формулой Виета-Кардано
$x^3+ax^2+bx+c=0$ - общий вид
$Q= dfrac{a^2-3b}{9} = dfrac{0^2-3cdot(-1)}{9} = dfrac{1}{3}$

$R= dfrac{2a^3-9ab+27c}{54} = dfrac{27c}{54} = dfrac{c}{2} = dfrac{1}{2}$

$S=Q^3-R^2=bigg( dfrac{1}{3} bigg)^3-bigg( dfrac{1}{2} bigg)^2=- dfrac{23}{108}$
Поскольку $S textless 0$, то отсюда следует, что уравнение имеет один действительный корень также 2 комплексных.

$phi=Arch(|R|/Q^{3/2})/3approx0.536$
Тогда действительный корень можем найти следующим образом
x = -2sgn(R)√Q·ch(Ф)-a/3 = -1.325 ∉ [-1;1]

Cледовательно уравнение решений не имеет.

$4sin^2x-cos x-1=0\ 4cdot(1-cos^2x)-cos x-1=0\ 4cdot (1-cos x)(1+cos x)-(cos x +1)=0\ (1+cos x)(4-4cos x-1)=0\ (1+cos x)(3-4cos x)=0$
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю
$1+cos x=0\ cos x=-1\ x= pi +2 pi n,n in mathbb{Z}$

$3-4cos x=0\ cos x= frac{3}{4} \ x=pm arccos frac{3}{4} +2 pi n,n in mathbb{Z}$