Question

1) 2^a-1=4=> 4^a-1=?
2) 2^a+1=16
2^b=8 => b-a=?

3) 8^x-1= 2^x+1 => 2^x =?

4) 3^x= 32
9^y= 4 => x+2y/x-y =?

5) 5^x +5^-x =a
5^x -5^ -x = b=> a^2 - b^2 =?

6) a^2x +b^2x =169 and a^x -b^x = 5 => a^x × b^x=?

7) 12^x= 9
3^y= 2 => y=?

Answer 1

1) Щоб знайти 4^a-1, спершу знайдемо значення "a" з рівняння 2^a-1=4:
2^a-1 = 4
2^a = 4 + 1
2^a = 5
a = log2(5)
Тепер підставимо значення "a" в 4^a-1:
4^(log2(5))-1

2) З рівнянь 2^a+1=16 і 2^b=8, знайдемо "a" та "b":
a = log2(16-1) = log2(15)
b = log2(8) = 3
Тепер знайдемо b - a:
b - a = 3 - log2(15)

3) З рівняння 8^x-1 = 2^x+1, знайдемо 2^x:
8^x-1 = 2^x+1
(2^3)^x-1 = 2^x+1
2^(3x)-1 = 2^x+1
3x - 1 = x + 1
2x = 2
x = 1
Тепер ми знаємо, що 2^x = 2^1 = 2.

4) З рівнянь 3^x = 32 і 9^y = 4, знайдемо значення "x" і "y":
x = log3(32) = log3(2^5) = 5
y = log9(4) = log3(4)/2 = 2/2 = 1
Тепер знайдемо x+2y/x-y:
x + 2y / x - y = 5 + 2*1 / 5 - 1 = 7/4.

5) З рівнянь 5^x + 5^(-x) = a і 5^x - 5^(-x) = b, знайдемо a^2 - b^2:
a^2 - b^2 = (5^x + 5^(-x))^2 - (5^x - 5^(-x))^2
Використовуючи ідентичність a^2 - b^2 = (a + b)(a - b), отримаємо:
a^2 - b^2 = [(5^x + 5^(-x)) + (5^x - 5^(-x))][(5^x + 5^(-x)) - (5^x - 5^(-x))]
a^2 - b^2 = [2*(5^x)][2*(5^(-x))]
a^2 - b^2 = 4*(5^x)*(5^(-x))
a^2 - b^2 = 4

6) З рівнянь a^2x + b^2x = 169 і a^x - b^x = 5, знайдемо a^x * b^x:
a^2x + b^2x = 169
a^x(a^x + b^x) = 169
a^x * 5 = 169
a^x = 169/5
a^x = 33.8 (приблизно)

7) З рівнянь 12^x = 9 і 3^y = 2, знайдемо "y":
12^x = 9
3^(2x) = 3^2
2x = 2
x = 1
Таким чином, ми знаємо, що x = 1. Тепер знайдемо "y":
3^y = 2
y = log3(2)